很久没有认真做过一道数学题了，今天就先拿概率论下下手，把之前的伯努利欧拉错装信封问题做一遍。

题目：某人写了n封信，并在n个信封上写下了对应的地址和收信人姓名，把所有的信笺装错的情况有多少种？ 为了表示方便我设信笺为a1，a2，a3，…，an对应的信封为A1，A2，…，An，伯努利欧拉错装信封问题等价于：“求n个不同元素a1，a2，a3，…，an分别不能在A1，A2，A3，…，An的排列数。 解法一：综合递推公式的求解方案 设n个不同元素a1，a2，a3，…，an分别不能在n个位置A1，A2，A3，…，An的排列数位u(n)。先考虑a1在A2位置，同时a2在A1位置的所有请款作为一组，把a1在A2位置而a2不在A1位置的所有情况作为第二组。 第一组情况的排列数为u(n-2)种。 第二组：因a1在A2位置，而a2不在A1位置，当然a3不在A3位置，a4不在A4位置，…an不在An位置，问题就归结到求n-1个元素分别不在n-1个位置的排列数问题，因而第二种排列数为u(n-1)，那么a1在A2位置的排列数为u(n-1)+u(n-2)。 同理：a1在A3位置，a1在A4位置，…，a1在An位置所得的排列数都与a1在A2位置时的排列数相同。 所以：u(n)=(n-1)(u(n-1)+u(n-2));求此递推方程即得到所需结果。 下面来求解此递推方程（这是很简单的数列求解问题了，为了求解详细，都说说）。 将递推公式化为： U(n)-n*U(n-1)=-[U(n-1)-(n-1)*U(n-2)] 到这里我们都知道怎么解了 下边分别n=3，4，5，…，n得 U(3)- 3*U(2)=-[U(2)-2*U(1)] U(4)- 4*U(3)=-[U(3)-3*U(2)] U(5)- 5*U(4)=-[U(4)-4*U(3)] …… U(n)- n*U(n-1)=-[U(n-1)-(n-1)*U(n-2)] 下边该怎么办呢，不要想着加，加就完了，稍微观察一下就知道要用乘，把所有式子乘起来，得到 U(n)- n*U(n-1)=(-1)^(n-2)([U(2)-2*U(1)] 又u(1)=0,u(2)=1，（-1）^(n-2)=(-1)^n 所以U(n)- n*U(n-1)=(-1)^n 下面用n!去除上式有 U(n)/(n!)- U(n-1)/(n-1)!=(-1)^n/(n!) 在分别n=2，3，4，…，n得 U(2)/(2!)- U(1)/(1)!=1/(2!) U(3)/(3!)- U(2)/(2)!=(-1)/(3!) U(4)/(4!)- U(3)/(3)!=1/(4!) …… U(n)/(n!)- U(n-1)/(n-1)!=(-1)^n/(n!) 把这（n-1）个等式相加，u(1)=0 得U(n)/(n!)=1/(2!)-1/(3!)+1/(4!)-…+(-1)^n/(n!) 即U(n)=n![1/(2!)-1/(3!)+1/(4!)-…+(-1)^n/(n!)] 解法二：组合方法的求解方案 总的排列数有n!种，有一个封信装对，其它乱排有C(n,1)*(n-1)!种，有两封新装对，其它乱排有C(n,2)*(n-2)!，……，以此类推，n封都装对有C(n,n)*(n-n)!种，根据抽屉原理，总的排列数为n!- C(n,1)*(n-1)!+ C(n,2)*(n-2)!+…+(-1)^n C(n,n)*(n-n)!= n![1/(2!)-1/(3!)+1/(4!)-…+(-1)^n/(n!)] 解法三：概率论第一章的性质1.4.5的公式，求解过程就是解法二的求解过程，只不过公式化了，其实性质1.4.5就是抽屉原理的一部分。 解法四：直接给出递推公式，愿意想的想一下 当n为奇数时U(n)=n*U(n-1)-1 当n为偶数时U(n)=n*U(n-1)+1 解法五：暂时没时间写，预知解法，待有时间再分解。 问题的一个小推广 把1，2，3，…，2n随机地排到第1号，第2号，……，第2n号，规定1不能放在1号，3不能放在3号，……，2n-1不能放入第2n-1号，第1号，第2号，……，第2n号放入的数分别记为a1,a2,a3,…,a2n，并且满足a1<a3<a5<…<a(2n-1)，则有多少种不同的放法？ 最后答案是Catalan数乘以n!种，求解过程待有时间再分析。